माना f(x) = begin{cases} (3 - sin(1/x))|x|, & | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले,हम $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं। $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} (3 - \sin(1/x))|x|$। चूँकि $|\sin(1/x)| \le 1$

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निम्निष्ठ (minima) है

Vedclass · Answer

(B) सबसे पहले,हम $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं। $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} (3 - \sin(1/x))|x|$। चूँकि $|\sin(1/x)| \le 1$,हमारे पास $2|x| \le (3 - \sin(1/x))|x| \le 4|x|$ है। सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x 	o 0} f(x) = 0 = f(0)$। अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है। इसके बाद,हम $x = 0$ के निकट $f(x)$ के मानों की जाँच करते हैं। किसी भी $x 
e 0$ के लिए,$|x| > 0$ और $(3 - \sin(1/x)) \ge 3 - 1 = 2 > 0$ है। इसलिए,सभी $x 
e 0$ के लिए $f(x) = (3 - \sin(1/x))|x| > 0$ है। चूँकि $f(0) = 0$ है और $0$ के प्रतिवेश में सभी $x 
e 0$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए $0$ के प्रतिवेश में सभी $x$ के लिए $f(x) \ge f(0)$ है। अतः,$f$ का $x = 0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ मान है।

माना $f(x) = \begin{cases} (3 - \sin(1/x))|x|, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। तब $x = 0$ पर,$f$ का

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फलन $f(x) = \begin{cases} x + 2, & 1 \le x \le 2 \\ 4, & x = 2 \\ 3x - 2, & x > 2 \end{cases}$ किस बिंदु पर संतत है?

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